Математик физикийн зарим тэгшитгэлийн онолын судалгаа
Салбар : Байгалийн шинжлэх ухаан
Төслийн дугаар :
Төслийн төрөл : Дээд боловсролын шинэчлэлийн төсөл
Хугацаа: 2015-2017
Санхүүжилт: 28,000.0 мян.төг
Түлхүүр үг : Pauli-Fierz Hamiltonian, QED, boson Fock space, resolvent, Navier-Stokes alpha-beta model, Einstein equation, Descrete exterior calculus
Үр дүн
1.Судалгааний ажлийн үр дүн
1.1 Паули-Фиерцийн загврын талаар гаргасан үр дүнгүүд
Шотландын математикч, физикч Жемс Клерк Максвелл 1865 онд цахилгаан цэнэгийн үүсгэх орон ба соронзон орон, соронзонгийн татах хүчнүүд нь нэгэн зүйл болохыг харуулсан Максвеллийн тэгшитгэл гэгдэх дифферинциал тэгшитгэлүүдийн системийг бичсэн билээ. Энэ тэгшитгэлээс хөдлөж буй цэнэг соронзон оронг, хөдлөж буй соронз цахилгаан оронг үүсгэхийг хүн төрлөхтөн ойлгож өмнө тусдаа өөр зүйл мэтээр судлаж байсан цахилгаан ба соронзон хүчнүүд нэгдсэн нэг онолтой болсон билээ. Энэ үндсэн 4 төрлийн хүчийг нэгтгэсэн “Grand Unified Theory” байж болох тухай төсөөлийг орин үеийхэнд бий болгосон юм. Энэ нэгдсэн оронг цахилгаан-соронзон орон гэдэг.
Сүүлийн үед цахилгаан-соронзон орны квант хувилбар буюу атом ба бозоны орны (фотоны радиаци) харилцан үйлчлэлийг тайлбарладаг квант физикийн загвар болох Паули-Фиерц ба Нелсоны загваруудын судалгаа олон эрдэмтдийн сонирхолыг татаж байгаа юм. Аливаа квант физикийн загваруудын хувьд дараах 3 үндсэн бодлого тавигддаг. Үүнд:
1. Судлаж буй аливаа физик хэмжигдэхүүнийг өөртөө хосмог H - оператороор төлөөлүүлдэг. Н - операторын өөртөө хосмог байх эсэх, түүний өөртөө хосмог байх мужыг тодорхойлох. Энэ нь тухайн математикийн бодлого нь физик утгатай байх үндсэн шалгуур юм. Паули-Фиерц ба Нелсоны загваруудын хувьд Гамилтоны оператор нь өөртөө хосмог байх нь олон тохиолдолд батлагдсан байдаг.
2.Судлаж буй физик хэмжигдэхүүний авах утгуудыг операторын спектр төлөөлнө гэж үздэг. Тиймээс Н операторын спектрийг олох шаардлагатай. Ихэвчлэн олоход хэцүү байдаг тул түүнийг үнэлэх, доод хилийг тогтоох ажил хийгддэг. Спектрийн доод хил нь хувийн утга болох эсэх нь энэ физик загвар бодитой байх, тогтвортой орших шалгуур болдог. Паули-Фиерц ба Нелсоны загваруудын хувьд спектрийн судалгааний үр дүн нь ихэвчлэн спектрийг доороос нь үнэлсэн байдаг (Jan Derezinski, 2008, Hiroshima ….).
3.Судлаж буй физик хэмжигдэхүүний хугацаанаас хамаарах хамаарал, түүний удаан хугацааны дараах төлөвийн талаарх мэдээллийг өгдөг скатерин (сарнил)-г судлах шаардлагатай байдаг. Скатеринг судлахад Н- операторын резолвент операторыг олох шаардлагатай. Спектрийг гүйцэд олоогүй тохиолдолд резолвентийг бүрэн тодорхойлох боломжгүй тул Паули-Фиерц ба Нелсоны загваруудын хувьд энэ чиглэлд хийгдсэн ажил цөөн байдаг. Резолвентыг одоо болтол шууд олоогүй байгаа юм.
Тиймээс цөөн бөөмтэй тохиолдолд резолвент, спектрийг нь яг олох асуудал зөвхөн математикийн хувьд сонирхолтой төдийгүй хэрэглээ ихтэй юм. Бид эдгээр моделуудийн Гамилтоны операторын спектр, резольвент, сарнилын талаар судласан болно. Энэ төслийн хүрээнд цөөн бөөмтэй тохиолдолд резолвент, спектрийг шууд тооцоолох арга олсон. Эдгээр үр дүнг нэгтгэн “Resolvent of Pauli-Fierz Hamiltonian with photon number cut-off” өгүүлэлийг бичиж “Reviews in Mathematical Physics” сэтгүүлд хэвлүүлэхээр илгээсэн болно. Энэ сэтгүүл нь Thomson Reuters индекстэй (2016 оны индекс 1.426) мэргэжлийн чиглэлдээ 10т эрэмбэлэгдэж байгаа сэтгүүл юм.
1.2 Эйнштейний тэгшитгэл ба Навье-Стоксийн-алфа-бета тэгшитгэлийн талаар гаргасан үр дүнгүүд
Шингэний механикийн үндсэн хууль нь Навье-Стоксийн тэгшитгэл бөгөөд энэ тэгшитгэлийн судалгаа нь физикийн шинжлэх ухааны тайлагдаагүй гол асуудлуудын нэг болох турбуленсийг ойлгох гол найдвар болдог юм. Математикийн талаасаа, өнөө үеийн хамгийн чухал шийдэгдээгүй бодлогуудын нэг нь ерөнхий тохиолдолд Навье-Стоксийн тэгшитгэлийн шийд оршин байх эсэх тухай бодлого юм. Түүнчлэн энэ тэгшитгэл нь цаг агаарын судалгаа, нисэх онгоц, автомашин гэх мэт хурдтай биетэд учрах агаарын эсэргүүцлийг тооцох ганц тулгуур билээ. Гэвч турбуленсийн нарийн төвөгтэй шинж чанараас болоод өнөө үеийн хамгийн хүчтэй компьютер ашиглаад ч Навье-Стоксийн тэгшитгэлийг хангалттай нарийвчлалтай бодож чадахгүй байна. Иймд судлаачид Навье-Стоксийн тэгшитгэлийн хялбарчилсан хувилбаруудыг авч үзэхээс өөр аргагүй байдалд хүрдэг юм. Навье-Стокс-алфа (Foias et al., 2002) тэгшитгэлийн өргөтгөл болох Навье-Стокс алфа-бета тэгшитгэлийн (Fried and Gurtin, 2008) шийдийн оршин байх эсэх, цор ганц байх эсэх, мөн энэ тэгшитгэлийн шийд параметрүүдийнхээ ямар хязгаарт Навье-Стоксийн тэгшитгэлийн шийд рүү нийлэх вэ гэдгийг энэ төслийн хүрээнд судаллаа. Навье-Стокс-алфа-бета тэгшитгэл нь Навье-Стокс-алфа тэгшитгэлээс давуутай нь тасралтгүй механикийн онол дээр тулгуурлагдсан, мөн захын нөхцөл нь онолоосоо шууд ургаж гардагт байгаа юм. Навье-Стокс-алфа-бета тэгшитгэлийн анализ нь тулгамдсан асуудал боловч захын нөхцлийн анализ нь төвөгтэй учраас одоогоор энэ талаар судалсан үр дүн дэлхийн шинжлэх ухаанд байхгүй байна. Энэ төсөлийн хүрээнд ажиллаж эхэлснээс хойш бид чамлалтгүй үр дүнд хүрлээ. Нэгдүгээрт бол глобаль шийдийн оршин байхыг баталсан. Энэ үр дүнг олон улсын хуралд илтгэсэн бөгөөд сэтгүүлд өгөхөөр бэлдэж байна.
Навье-Стокс-алфа-бета тэгшитгэлийг тоон аргаар бодох нь судлаачдийн гол зорилгуудын нэг юм. Навье-Стоксын тэгшитгэлийн тоон аргаар бодоход гардаг нэг гол хүндрэл нь шингэний шахагддаггүй чанарыг илэрхийлдэг дивергенцийн нөхцлийг яаж тусгах вэ гэсэн асуудал байдаг. Энэ тал дээр маш олон ажил хийгдсэн боловч одоо хүртэл бүрэн шийдэгдээгүй асуудал юм. Шингэний шахагддаггүй чанар нь нэг төрлийн хязгаарлалт (constraint) бөгөөд гравитац дахь олон биеийн бодлогын болон молекуляр симуляцийн салбарын туршлагаас бид дифференциал тэгшитгэлийн геометр шинж чанарыг алдагдуулахгүйгээр дискретизац хийх нь чанарын хувьд, ялангуяа хязгаарлалттай системийн хувьд маш их давуу талтай гэдэг нь ойлгомжтой болсон байгаа. Иймд Навье-Стоксын тэгшитгэлийг геометр аргаар дискретизац хийх хэд хэдэн арга аргууд сүүлийн үед дэвшигдэж тавигдсан бөгөөд эдгээр аргуудын нийлэлтийн анализыг хийх шаардлага зүй ёсоор тавигдаж байна. Бидний хийсэн “Convergence of Discrete Exterior Calculus” ажил нь Навье-Стоксын тэгшитгэлийн геометр дискретизацын нийлэлтийг судлах судалгааны эхний томоохон алхам болж байгаа юм. «Discrete exterior calculus» аргын нийлэлтийг батлах асуудал нь 15 жил нээлттэй байсан бодлого бөгөөд бидний ажил энэ аргын нийлэлтийн анхны ерөнхий баталгааг хийснээрээ онцлог юм. Мөн энэ үр дүнгээр төсөлд оролцогч Ц.Гантөмөр “Convergence of Discrete Exterior Calculus” илтгэлийг Германы Тримстер семинарт мөн Канадын Банфф хотод болсон "Connections on Geometric Numerical Integration and Structure-Preserving Discretization" хуралд илтгэсэн.
Харьцангуйн ерөнхий онолын үндсэн тэгшитгэл нь Эйнштейний тэгшитгэл гэгддэг динамик тэгшитгэл байдаг бөгөөд үүний анхны нөхцөл нь огторгуй төст Кошийн гадаргуу дээр өгөгдсөн, өөрөө тусгай хягаарлалтын нөхцлийг хангадаг өгөгдлүүд байх ёстой. Энэ нь Максвеллийн тэгшитгэлийн анхны нөхцлүүд жишээлбэл соронзон орон дивергенцгүй байх хязгаарлалтанд захирагддагтай төстэй үзэгдэл юм. Харин харьцангуйн ерөнхий онолын хязгаарлалтын нөхцлүүд нь шугаман бус бөгөөд дифференциал геометрын өгөгдлүүд дээр бичигддэгээрээ онцлогтой. Эйнштейний хягаарлалтын тэгшитгэл (Einstein constraint equations) гэж нэрлэгддэг эдгээр нөхцлүүдийг параметрчлэх ерөнхий аргуудаас хамгийн үр дүнтэй програм нь конформал параметрчлэлийн арга юм.
Энэ арга нь Кошийн гадаргуугийн дундаж муруйлт тогтмол эсвэл бараг тогтмол үед маш сайн ажилладаг боловч дундаж муруйлтын градиент их үед олон хүнд бэрхшээлтэй учирдаг болох нь сүүлийн хэдэн жилийн судалгаагаар илэрхий болоод байгаа. Бидний энэ өгүүлэл нь дундаж муруйлтын градиент их байх горимд Эйнштейний хягаарлалтын тэгшитгэлийг судлах судалгааны маань үргэлжлэл бөгөөд гол үр дүн нь огторгуйг компакт, дотроо төгсгөлөг тооны хар нүх агуулсан үед Кошийн гадаргуугийн дундаж муруйлтын градиент хичнээн ч их байсан гэсэн Эйнштейний хягаарлалтын тэгшитгэлийн шийдийн задгай олонлог оршин байна гэдгийг харуулсан явдал болно. Эйнштейний хягаарлалтын тэгшитгэл ба Навье-Стоксын тэгшитгэл нь шугаман бус тухайн дифференциал тэгшитгэлийг судлах бидний ерөнхий програмын дор нэгдэж байгаа юм. Энэ үр дүнгээр "Non-CMC Solutions of the Einstein Constraint Equations on Compact Manifolds with Apparent Horizon Boundaries” өгүүлэл бичиж Communications in Mathematical Physics сэтгүүлд хэвлүүлсэн. Энэ сэтгүүл нь Thomson Reuters индекстэй (2016 оны индекс 2.237) мэргэжлийн чиглэлдээ 2 т эрэмбэлэгдэж байгаа сэтгүүл юм.
2.Судалгааны семинарын үр дүн
Хоёрдугаар үндсэн зорилтын хүрээнд МУИС дээр “Математик Физикийн тэгшилтгэлүүд” эрдэм шинжилгээ судалгааний семинарыг 2015 оны 12 сараас 2017 оны 7 сар хүртэл нийт 48 удаа хийлээ. Тус семинарт математик физикийн үндсэн тэгшитгэлүүд, тэдгээрийн судалгаанаас гадна уригдсан зочид өөрсдийн судалгааны шинэ үр дүгнүүдийг илтгэдэг. Семинарт үндсэн судлаачдаас (А.Галтбаяр, Д.Даянцолмон) гадна МУИС математикийн тэнхим болон хэрэглээний математикийн тэнхимийн багш нар ( др. Ц.Батболд, др. А.Энхболор, др. Т.Хулан ), ШУТИС математикийн тэнхмийн багш нар ( др. Ц.Мөнх-Эрдэнэ, др. Д.Цэдэнбаяр, др. Балжинням ), ОХУ-н Дубна дахь цөмийн судалгааний төвийн секторын эрхлэгч О.Чулуунбаатар, Канадын Мак-Гилл их сургуулийн профессор Ц.Гантөмөр, Японы Гакюшүин их сургуулийн профессор К.Яжима нар оролцож өөрсдийн судалгааний ажлаас илтгэсэн.
Түүнээс гадна МУИС-ийн оюутнууд (ШУС оюутан Ариунбаяр, Дэмчигдорж, ХШУИС оюутан Ганхөлөг, Чагнаадорж) нар тогтмол оролцож байсан. Семинарт оролцож байсан ХШУИС оюутан Ганхөлөг, Чагнаадорж нар профессор Галтбаярын удирдлагаар ХШУИС-н оюутны эрдэм шинжилгээний хуралд “Паули-Фиерцийн загварын нэгдүгээр эрэмбийн дөхөлт” сэдвээр илтгэл тавьж оролцон 4-р байр эзэлэсэн нь манай семинар мэдлэгийг түгээн дэлгэрүүлэх, эрдэм шинжилгээний ажлын арга барилд сургах зорилгоо амжилттай биелүүлж байгаагийн илэрэл гэж үзэж байна. Энэхүү семинарын үр дүнд ”Resolvent of Pauli-Fierz Hamiltonian with photon number cut-off” өгүүлэл гарсан.